본문 바로가기

Lab Notes

Quasiperiodic function (준주기적 함수)

*Wikipedia 내용을 해석한 것이며 개인적인 관련지식 습득을 위해 작성된 자료로 학계에서 통용되어 쓰지 않는 한글 해석 용어가 포함되어 있을 수 있음.


Ref:

http://en.wikipedia.org/wiki/Quasiperiodic_function

http://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass%27s_elliptic_functions

http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_function



수학에서 주기함수(periodic function) 함수와 유사하나 엄격하게 그 정의를 만족하지 못하는 함수를 Quasiperiodic(준주기적) 이라 한다.


f(z+ω) = g(z,f(z)), 이때 g는 f보다 "더 간단한 (simpler)" 함수이다 - simpler의 의미는 사실상 모호하게 사용된다.

이때, 함수 f는 준주기 ω를 가지는 Quasiperiodic 이다.


함수가 다음의 방정식을 따른다면 산술적 준주기(Arithmetic quasiperiodic)의 간단한 예이다.


f(z+ω) =f(z) + C


또 다른 하기의 방정식은 기하학적 준주기(Geometric quasiperiodic)의 간단한 예이다.


f(z+ω) = Cf(z)


유용하게 사용될 수 있는 함수는 다음의 식이다.


f(z) = sin(Az) + sin(Bz)

- 비율 A/B가 유리수(rational)라면 상기 함수는 정확한 주기(true period)를 가진다.

- 비율 A/B가 무리수(irrational)라면 상기 함수는 정확한 주기가 없다. (그러나 주기가 점점 정확해지는 하나의 연속임)


또 하나의 준주기함수의 예는 Jacobi theta 함수이며 다음과 같다.


\vartheta(z+\tau;\tau) = e^{-2\pi iz - \pi i\tau}\vartheta(z;\tau),


이식은 고정된 τ 에 대해서 보여주는데, 이때 τ는 준주기(quasiperiod)이며, 이 함수는 또한 주기 하나를 가지는 주기함수이다.


다른 예는 Weierstrass sigmal function이다. 이 함수는 두개의 독립적인 준주기(quasiperiod)를 가지는 준주기적 함수이다.

이때 주기들은 Weierstrass ℘ function 에 해당한다.


부가적인 함수가 들어간 방정식의 예는 다음과 같다.

f(z+w) = f(z) + az + b

이 또한 준주기적이다라고 하는데 이 것의 예로 Weierstrass zeta function이 있다.


 \zeta(z + \omega) = \zeta(z) + \eta \


이는 w가 Weierstrass ℘ function에 해당하는 주기일때 고정된 η에 대한 함수이다.


특별한 케이스로


f(z+w) = f(z) 가 있는데 이 때 f는 주기적이고 이 때 주기는 w라고 한다.





*Weierstrass's elliptic functions

-일종의 타원형 함수(Elliptic functions)

  >두개의 방향으로 주기적인 Meromorphic fuctions (유리형,有理型)

  >보통의 실수형 주기함수는 하나의 주기에 의해 결정되는데 타원형 함수는 기본적인 평행4변

    (fundamentalparallelogram)상의 값들에 의해 결정된다 (하나의 격자 안에서 반복됨)

  >이러한 이중 주기함수(doubly periodic function)는 해석(解析)적(holomorphic)일 수 없다. 

    따라서 경계 전체 함수(bounded entire function)가 될 수 있고 Liouville's theorem에 의해 모든 개별 함수는 

    불변(constant)이다.

  >실질적으로 타원형 함수는 최소 2개의 pole들을 (counting multiplicity) 기본적인 평행4변형 내에 가져야함

  >Periodicity(주기성)를 사용하면 반드시 소멸되어야하는 경계선 주위의 contour integral (폐곡선 적분), 간단

    pole들의 잔차들이 반드시 무효화 되어야 함을 의미한다는 것에 대해 쉽게 설명이 가능하다.


-이러한 함수들의 클래스를 P-functions로 부르기도 하며 일반적으로 ℘ ("Weierstrass P")를  사용하여 표시함

-Weisserstrass 타원함수는 3가지 연관된 방식으로 정의가 가능하다.


  1) 복소평면(가우스 평면) 안에서 복소변수 z와 lattice(격자) Λ 의 함수

  2) Lattice(격자에 대해) 복소변수 z와 Generators(또는 주기) 쌍으로 정의되는 두개의 복소수 ω1과 ω2로 구성되

      는 함수

  3) Upper half-plane(상반평면) 상에서 복소변수 z와 modulus τ 로 구성되는 함수 ( τ = ω2/ω1 : 이것은 상반평

      면 내에서 주기들의 쌍을 선택하는 전통적인 방법에 의함), 이 방법의 사용하면, 고정된 z에 대해 Weierstrass

      function들은 τ 의modular function이 된다.

 

- 두 주기에 대해 Weierstrass's elliptic function은 주기 ω1과 ω2의 타원형 함수이며 다음과 같이 정의됨


   
\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{z^2}+
\sum_{n^2+m^2 \ne 0}
\left\{
\frac{1}{(z+m\omega_1+n\omega_2)^2}-
\frac{1}{\left(m\omega_1+n\omega_2\right)^2}
\right\}.
   


   

   그렇다면, \Lambda=\{m\omega_1+n\omega_2:m,n\in\mathbb{Z}\} 는 Period lattice (주기 격자)의 포인트들이다.


   따라서,  \wp(z;\Lambda)=\wp(z;\omega_1,\omega_2)  


   상기의 함수는 격자의 어떠한 Generator들의 쌍에 대해 하나의 복소변수와 하나의 lattice의 함수로 Weierstrass

   function을 정의한다.


   

   만약, τ 가 상반평면 내에서 하나의 복소수라면,


   \wp(z;\tau) = \wp(z;1,\tau) = \frac{1}{z^2} + \sum_{n^2+m^2 \ne 0}\left\{
{1 \over (z+m+n\tau)^2} - {1 \over (m+n\tau)^2}\right\}.



  상기의 합은 Degres minus 2의 homogeneous 이다. 이로부터 우리는 어떤 주기의 쌍에 대해서라도

  Weierstrass ℘ 함수를 정의할 수 있다.


  \wp(z;\omega_1,\omega_2) = \frac{\wp(\frac{z}{\omega_1}; \frac{\omega_2}{\omega_1})}{\omega_1^2}.


  theta functions들의 측면에서 ℘를 매우 빠르게 계산할 수 있다. 왜냐하면 이들의 converge(수렴)은 매우 빠르고,

  우리가 정의 한 것의 시리즈들 보다 ℘를 계산하는 보다 빠른 방법이다.  이에 대한 공식은 다음과 같다. 


  \wp(z; \tau) = \pi^2 \vartheta^2(0;\tau) \vartheta_{10}^2(0;\tau){\vartheta_{01}^2(z;\tau) \over \vartheta_{11}^2(z;\tau)}-{\pi^2 \over {3}}\left[\vartheta^4(0;\tau) + \vartheta_{10}^4(0;\tau)\right]


  - 주기격자(period lattice - including the origin)의 개별 포인트에 2차 pole들 이 있다. 이러한 정의들과 함께, 

     ℘(z)는 even function이며 그것의 z, ℘' 에 관한 미분계수(도함수)는 odd function이 된다. 




Weierstrass P function defined over a subset of the complex plane using a standard visualization technique in which white corresponds to a pole, black to a zero, and maximalsaturation to \left|f(z)\right|=\left|f(x+iy)\right|=1\;.Note the regular lattice of poles, and two interleaving lattices of zeros. (wikipedia)

  

'Lab Notes' 카테고리의 다른 글

R을 이용한 상관관계 분석  (0) 2015.04.24
Stationary process, Cyclostationary process  (0) 2014.12.17
WEKA OutOfMemory 창이 뜰때  (0) 2014.10.02
WEKA 결과 화면 분석  (0) 2014.10.01
파이썬 배포 패키지 생성 시 유의~  (0) 2014.09.24