*Wikipedia 내용을 해석한 것이며 개인적인 관련지식 습득을 위해 작성된 자료로 학계에서 통용되어 쓰지 않는 한글 해석 용어가 포함되어 있을 수 있음.
Ref:
http://en.wikipedia.org/wiki/Quasiperiodic_function
http://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass%27s_elliptic_functions
http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_function
수학에서 주기함수(periodic function) 함수와 유사하나 엄격하게 그 정의를 만족하지 못하는 함수를 Quasiperiodic(준주기적) 이라 한다.
f(z+ω) = g(z,f(z)), 이때 g는 f보다 "더 간단한 (simpler)" 함수이다 - simpler의 의미는 사실상 모호하게 사용된다.
이때, 함수 f는 준주기 ω를 가지는 Quasiperiodic 이다.
함수가 다음의 방정식을 따른다면 산술적 준주기(Arithmetic quasiperiodic)의 간단한 예이다.
f(z+ω) =f(z) + C
또 다른 하기의 방정식은 기하학적 준주기(Geometric quasiperiodic)의 간단한 예이다.
f(z+ω) = Cf(z)
유용하게 사용될 수 있는 함수는 다음의 식이다.
f(z) = sin(Az) + sin(Bz)
- 비율 A/B가 유리수(rational)라면 상기 함수는 정확한 주기(true period)를 가진다.
- 비율 A/B가 무리수(irrational)라면 상기 함수는 정확한 주기가 없다. (그러나 주기가 점점 정확해지는 하나의 연속임)
또 하나의 준주기함수의 예는 Jacobi theta 함수이며 다음과 같다.
이식은 고정된 τ 에 대해서 보여주는데, 이때 τ는 준주기(quasiperiod)이며, 이 함수는 또한 주기 하나를 가지는 주기함수이다.
다른 예는 Weierstrass sigmal function이다. 이 함수는 두개의 독립적인 준주기(quasiperiod)를 가지는 준주기적 함수이다.
이때 주기들은 Weierstrass ℘ function 에 해당한다.
부가적인 함수가 들어간 방정식의 예는 다음과 같다.
f(z+w) = f(z) + az + b
이 또한 준주기적이다라고 하는데 이 것의 예로 Weierstrass zeta function이 있다.
이는 w가 Weierstrass ℘ function에 해당하는 주기일때 고정된 η에 대한 함수이다.
특별한 케이스로
f(z+w) = f(z) 가 있는데 이 때 f는 주기적이고 이 때 주기는 w라고 한다.
*Weierstrass's elliptic functions
-일종의 타원형 함수(Elliptic functions)
>두개의 방향으로 주기적인 Meromorphic fuctions (유리형,有理型)
>보통의 실수형 주기함수는 하나의 주기에 의해 결정되는데 타원형 함수는 기본적인 평행4변
(fundamentalparallelogram)상의 값들에 의해 결정된다 (하나의 격자 안에서 반복됨)
>이러한 이중 주기함수(doubly periodic function)는 해석(解析)적(holomorphic)일 수 없다.
따라서 경계 전체 함수(bounded entire function)가 될 수 있고 Liouville's theorem에 의해 모든 개별 함수는
불변(constant)이다.
>실질적으로 타원형 함수는 최소 2개의 pole들을 (counting multiplicity) 기본적인 평행4변형 내에 가져야함
>Periodicity(주기성)를 사용하면 반드시 소멸되어야하는 경계선 주위의 contour integral (폐곡선 적분), 간단
pole들의 잔차들이 반드시 무효화 되어야 함을 의미한다는 것에 대해 쉽게 설명이 가능하다.
-이러한 함수들의 클래스를 P-functions로 부르기도 하며 일반적으로 ℘ ("Weierstrass P")를 사용하여 표시함
-Weisserstrass 타원함수는 3가지 연관된 방식으로 정의가 가능하다.
1) 복소평면(가우스 평면) 안에서 복소변수 z와 lattice(격자) Λ 의 함수
2) Lattice(격자에 대해) 복소변수 z와 Generators(또는 주기) 쌍으로 정의되는 두개의 복소수 ω1과 ω2로 구성되
는 함수
3) Upper half-plane(상반평면) 상에서 복소변수 z와 modulus τ 로 구성되는 함수 ( τ = ω2/ω1 : 이것은 상반평
면 내에서 주기들의 쌍을 선택하는 전통적인 방법에 의함), 이 방법의 사용하면, 고정된 z에 대해 Weierstrass
function들은 τ 의modular function이 된다.
- 두 주기에 대해 Weierstrass's elliptic function은 주기 ω1과 ω2의 타원형 함수이며 다음과 같이 정의됨
그렇다면, 는 Period lattice (주기 격자)의 포인트들이다.
따라서,
상기의 함수는 격자의 어떠한 Generator들의 쌍에 대해 하나의 복소변수와 하나의 lattice의 함수로 Weierstrass
function을 정의한다.
만약, τ 가 상반평면 내에서 하나의 복소수라면,
상기의 합은 Degres minus 2의 homogeneous 이다. 이로부터 우리는 어떤 주기의 쌍에 대해서라도
Weierstrass ℘ 함수를 정의할 수 있다.
theta functions들의 측면에서 ℘를 매우 빠르게 계산할 수 있다. 왜냐하면 이들의 converge(수렴)은 매우 빠르고,
우리가 정의 한 것의 시리즈들 보다 ℘를 계산하는 보다 빠른 방법이다. 이에 대한 공식은 다음과 같다.
- 주기격자(period lattice - including the origin)의 개별 포인트에 2차 pole들 이 있다. 이러한 정의들과 함께,
℘(z)는 even function이며 그것의 z, ℘' 에 관한 미분계수(도함수)는 odd function이 된다.
Weierstrass P function defined over a subset of the complex plane using a standard visualization technique in which white corresponds to a pole, black to a zero, and maximalsaturation to Note the regular lattice of poles, and two interleaving lattices of zeros. (wikipedia)
'Lab Notes' 카테고리의 다른 글
R을 이용한 상관관계 분석 (0) | 2015.04.24 |
---|---|
Stationary process, Cyclostationary process (0) | 2014.12.17 |
WEKA OutOfMemory 창이 뜰때 (0) | 2014.10.02 |
WEKA 결과 화면 분석 (0) | 2014.10.01 |
파이썬 배포 패키지 생성 시 유의~ (0) | 2014.09.24 |