Stationary process, Cyclostationary process

출처

http://en.wikipedia.org/wiki/Stationary_process

http://en.wikipedia.org/wiki/Cyclostationary_process

Stationary process (정상성(고정) 프로세스)

수학과 통계에서, Joint probability distribution (결합확률분포)가 시간축에서 쉬프트되더라도 변하지 않는 확률 과정(stochestic process)을 말한다. 따라서 평균이나 분산과 같은 파라미터들이 존재한다면 시간이 지남에 따라 변하거나 어떠한 경향들(trends)을 따르지 않는다.

확률과정에 대해서는 다음의 블로그 참고할 것: http://enginius.tistory.com/489

Stationarity는 Time series analysis에서 Raw 데이터가 자주 stationary가 되도록 변형하는데 쓰이는 하나의 도구로 사용된다.

예를 들어, 경제학적 지표는 자주 계절에 따른 그리고(또는) non-stationary(비정상성) 가격 수준에 따라 달라진다.

트렌드 유사 행위(trend-like behavior)를 포함하지 않는 non-stationary process의 주요한 하나의 타입이 cyclostationary process(주기 정상성 프로세스) 이다.

"stationary process"는 "process with a stationary distribution(비정상성(고정) 분포 프로세스)"과 다르다.

게다가 확률적 프로세스의 맥락에서 "stationary"의 사용은 추가적인 혼동의 가능성이 있다. 예를 들어 "time-homogeneous" Markov chain은 때때로 "stationary transition probabilities(고정 전이 확률)"를 가지고 있다고 하는데, 또한 모든 stationary Markov random process들은 time-homogeneous(시간 균일)이다.

를 확률과정이라 하자. 그리고 는 시간 t1+τ, ..., tk+τ 에서 의 joint distribution (결합분포)의 cumulative distribtion function (누적분포함수)를 나타낸다.

그러면, 이 때  모든 k, 모든 τ, 모든 t1, ..., tk에 대해  

상기의 조건을 만족하면

 를 stationary라고 한다.

이 때, τ는 Fx( • ) 에 영향을 주지 않기 때문에 Fx 는 시간의 함수가 아니다.

*확률질량함수(PMF - Probability Mass Function): 이산확률에서 특성값(x)에 대한 확률을 나타내는 함수 P(x)

  e.g., 주사위 한번 던졌을 때 결과 값 X의 확률질량함수

  

*(이산) 누적분포 함수 (CDF - Cumulative Distribution Function): 어떤 확률분포에 대해, 확률변수가 특정 값 보다 작거나 같은 확률 (P(X <= x)), 누적 분포함수는 확률밀도함수의 적분값과 동일 (이산데이터는 확률질량함수의 누적값)

상기 원본 참조: http://syung1104.blog.me/220100523335

Cyclostationary process (주기 정상성 프로세스)

시간에 따라 주기적으로 변화하는 특성을 가지는 신호를 말한다.

cyclostationary process는 multiple interleaved stationary processes의 관점으로도 볼 수 있다.

예를 들어, 뉴욕시의 매일의 최대 온도를 cyclostationary process 로 모델링 할 수 있다. 7월 21일의 최대 온도는 12월 20일의 온도와 통계적으로 다르다. 그러나 동일한 통계치를 가진 다른 년도의 12월 20일의 온도는 합리적인 근사치(reasonable approximation)가 될 수 있다. 따라서, 우리는 365개의 interleaved stationary processes의 매일 최대 온도로 구성된 랜덤 프로세스를 볼 수 있는데 이들 각각은 연간 한번 새 값을 가지게 된다.

정의

cyclostationary processes를 취급하는 2가지 접근법이 있음

1) 확률론적 접근법 (Probabilistic approach)

    통계과정의 하나의 인스턴스(instance)로 측정(measurement)을 바라봄

2) 결정론적 접근법 (Deterministic approach)

    단일 시계열(single time series)로 측정을 바라봄. 이로부터 확률분포가 시간의 비율로 정의될 수 있는데 이 비율은 시계열의

    lifetime동안 발생하는 이벤트의 비율이다.

두가지 접근법에서, 관련된 확률 분포가 시간에 따라 주기적으로 변화하면 이 때의 프로세스 또는 이 시계열(time series)을 cyclostationary 라고 한다. 그러나 결정론적 접근법에서는, 대안이자 동등한 정의가 있다. 시계열이 추가적인 유한 세기(finite-strength)의 sine-wave 컴포넌트들을 포함하고 있지 않으면 이것은 cyclostationarity를 분명히 한다. (만일 positive-strength additive sine wave  컴포넌트들이 만들어 내는, 신호의 nonlinear transformation이 있다면)

넓은 의미의 cyclostationarity

cyclostationary 신호들의 중요한 특별 케이스는 2차 통계 (e.g., the autocorrelation function)내에서 cyclostationarity를 나타내는 경우이다. 이것들을 wide-sense cyclostationary signals라고 부르며 wide-sense stationary processes와 유사하다.

정확한 정의는 신호가 확률 과정으로 취급 받는지, 결정론적 시계열로 취급받는지에 따라 다르다.

- 확률과정 x(t)에 대해, 다음과 같이 autocorrelation function을 정의한다.

  신호 x(t)는 Rx(t; τ)가 주기 T0로 t에서 주기적일 때 주기 T0로 wide-sense cyclostationary 하다고 한다. 즉,

- 결정론적 시계열 x(t)에 대해, cyclic autocorrelation 함수는 다음과 같이 정의한다

  

가 어떤 정수 n에 대한  일 때 0이 아니나 모든 다른 α 에 대해 0 일때, 시계열 x(t)는 주기 T0의 wide-sense cyclostationary라고 한다.

동등한 의미로, 시계열에 대해서 finite-strength sine-wave 컴포넌트들의 2차 변환(quadratic transformation)이 존재한다면 finite-strength sine-wave 컴포넌트들이 없는 시계열을 wide-sense stationary 라고 말할 수 있다.